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研究成果
对单摆加速度的探究
发布时间:2014-11-13 00:00:00  发布人:居津
对单摆加速度的探究
居 津1,2        袁海泉1
苏州大学1,江苏省苏州实验中学2         
【摘 要】不同初始摆角的单摆,摆球速度和拉力在最低点达到最大值,在最高点达到最小值。但是,本研究发现:加速度的最值与初始摆角有关,并以41.40为分界,对于初始摆角大于和小于41.40有着截然不同的结果。
【关键词】 加速度  最值  41.40
 
单摆模型是高中物理课程中重要的理想模型,它可以联系多方面的知识,同时也可以构建各种不同的物理问题。我在最近研究大角单摆加速度变化的非线性时,产生了令人惊奇的结果,以下做作详细的说明。
1、        绳中张力
如图1,设单摆初始释放角度为 ,摆动过程中某一角度为 。根据牛顿第二定律,对于 角处的受力分析如图可知:           即    (1)

T
mg
h0
h
图 1
由机械能守恒关系          (2)

式中 为初始摆角离最低点高度, 为摆角 处的高度
又      , 
代入(2)式可得
       (3)
即        (4)      联立(1)式 
可得:
(5)
当 即单摆位于最高点时,由(5)式知 ,此时绳中张力最小,
当 即单摆位于最低点时,由(5)式知 ,此时绳中张力最大。

图  2
显然单摆绳中张力与绳子长度L无关,无论摆球的初始角度如何,张力表达式都相同。

图2是5个不同的初始摆角( )条件下(单摆摆球质量为1 kg),绳中张力大小T与摆角 的关系图。从图中显示可以看出随着初始摆角的增加,张力(T)的最小值减小,最大值增大,但是张力的最大值始终出现在摆角 为零的位置上即最低点,其实这也是最显而易见的。由此,我不禁想到,在单摆摆动过程中的加速度变化规律是否与绳中张力变化规律相同呢?这是大家很少讨论的问题。
2、单摆的加速度
由图1可知                                           (6)        
                      (7)
为了得到加速度a的变化情况,先来讨论 (这里从方便运算考虑,可以考察加速度大小的平方)的变化。
   (8)
即                   (9)
为了得到摆球加速度的最值情况,先对(9)式求 的一次导数,即
                      (10)
加速度的平方取得最值的条件是:(10)式等于0,由此可得两个条件, 或 ,即此条件下加速度的平方有最大值或最小值。
第一个条件即 ,但第二个条件只有当  即 时才成立。这个角度让我觉得很惊讶,为什么不是诸如450这样的特殊角度,而是一个怎么都不会想到的41.40呢?这个结果告诉我,为了得到加速度的最大值或者最小值,必须分初始摆角大于41.40和小于41.40两种情况来讨论。
3、        初始摆角小于41.40
此时仅需考虑第一个 的条件,对(10)式再求 的一次导数,得
                     (11)
对(11)式变形可得,                 (12)       
    将 代入(12)式可得            (13)   
对于初始摆角小于41.40( )的情况,(13)大于0,加速度的在最低点( )的 二次导数大于0,表明加速度在最低点时取最小值。
(9)式给出了加速度随摆角q的变化表达式,为了进一步讨论加速度随时间的变化关系,还需要知道摆角q随时间的变化关系。中学物理教材中有单摆运动方程: , 为单摆摆动角速度, 为时间, 是初始相位,令 时,   ,即 ,
则      (14)
由于我们这里涉及到大角度摆动问题,需要运用更精确的角速度( )表达式:   (在小角度近似下 ),
代入(14)式,得:       (15)

再把(15)式简单代入(9)式,便可得加速度的平方与时间的关系表达式。运用计算机绘图软件gnuplot, 图3(和图4)描绘了摆长L为4m(周期约4s)的单摆在不同初始摆角q0的情况下,加速度a随运动时间t的变化曲线。图3显示了初始角度小于41.40情况下的加速度数值,从图中可以看到不同初始摆角的单摆均在

时间 t(s)
图3
大约1s和3s时取到最小值,而在单摆的最初和最后时刻取到各自的最大值,也即在最低点取到最小值
图 4
时间 t(s)
而在最大摆角处取到最大值。

4、        初始摆角大于41.40
当初始角度大于41.40时,由(10)式分析得:加速度取最值的两个条件是: (即q=0)或 。
当 时,由于 ,(13)式为负值,所以在 处即最低点出现了极大值;
当 时,(13)式为正值,故此时,加速度取的极小值。
如图4,初始角度大于41.40的情况下,加速度大小的变化趋势与初始角度小于41.40(图3)截然不同。图4显明加速度极大值出现在最低点(q=0)而极小值出现在 处,取决于初始摆角q0的大小。而图4也表明 处,加速度的极小值也就是整个摆动过程中的最小值。然而极大值却不一定就是整个单摆摆动过程中的最大值,如图4,当初始摆角为600和750时,最低点处的加速度极大值即为最大值;可当初始摆角为450和500时,最低点处的加速度极大值却并不是最大值。那么初始摆角多大为其分界线呢?由图4,我们看到:加速度的另外一个极大值出现在q=q0处。因此,临界情况应该就是当q=0处的加速度大于或者等于q=q0处的加速度,此时,q=0处的加速度极大值便为整个摆动过程的最大值。可以试着计算出这个临界值:
由(9)得:
当q=q0时:                      (16)
当q=0时:                             (17)
令(16)=(17) 得: ,即q0=53.130

图  6

图  5

 
图5和图6分别显示了初始摆角为53.130和600的加速度变化曲线。当q0=53.130时, 加速度的两处极大值大小相等,且为整个摆动中的最大值。而一个单摆从初始角度600静止释放,加速度最大值出现在00处,而最小值出现在 处。至于为什么是 ,究其原因,根据第二个条件可以很容易得到 即 恰好与图表中的显示的数据吻合。也就是说对于不同初始摆角大于41.40的单摆,其最小值则可以根据第二个条件来求得,所以最小值对应的不是固定某个特殊角度。
5、        结论
综上,加速度的最值与初始摆角有密切关系,在初始摆角小于41.40时,最低点出现最小值,最高点出现最大值;而初始摆角大于41.40时,加速度极大值出现在最低点(q=0),极小值出现在 处,且在 处,加速度的极小值也就是整个摆动过程中的最小值。并且由计算可知,如果初始摆角大于53.130,极大值并非等于整个摆动过程中的最大值,最大值出现在最低点;而如果初始摆角界于41.40和53.130之间,最低点的极大值就是整个摆动过程中的最大值。我们平时在研究单摆时,多讨论小角度条件下其周期,速度和拉力的情况,却很少讨论加速度。而我在研究加速度时却发现原来很多结论与平时所想象的有所出入。单摆模型是个非常值得研究的模型,希望各位同仁能有更多新的发现。


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